黑洞-第5部分
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弯曲空间的数学理论是在19世纪，主要由本哈·黎曼（Bernhard Riemann）发展出来的。即使是最简单的情况，弯曲几何的特性也是欧几里德几何完全没有的。
再次考虑一个球面。这是一个二维空间，曲率为正值且均匀（各点都一样），因为两个曲率半径都等于球面的半径。连接球面上两个分离点的最短路线是一个大圆的一段弧，即以球心为中心画在球面上的一个圆的一部分。大圆之于球面正如直线之于平面，二者都是测地线，就是最短长度的曲线。一架不停顿地由巴黎飞往东京的飞机，最省时间的路线是先朝北飞，经过西伯利亚，再朝南飞，这才是最短程路线。由于所有大圆都是同心的，其中任何两个都相交于两点（例如，子午线相交于两极），换句话说，在球面上没有平行的“直线”。
已可看出欧几里德几何是被无情地践踏了。熟知的欧氏几何定律只能应用于没有任何弯曲的平坦空间，一旦有任何弯曲，这些定律就被完全推翻了。球面最明显的几何性质是：与平面上直线的无限延伸不同，如果谁沿着球面上的直线（即沿着大圆）运动，他将总是从相反方向上回到出发点。因此，球面是有限的，或者说封闭的，尽管它没有终极，没有边界（大圆是没有终端的）。球面正是具有任何维数的有限空间的理想原型（由于自转、地形及潮汐等因素，地球表面不是精确的球面，但它同样具有上述性质）。
现在来考查一下负曲率空间的情况。为简单起见，限于二维，典型的例子是双曲面，形如马鞍。如果也沿着这个面上的一条直线运动，一般说来不会再返回出发点，而是无限地远离。像平面一样，双曲面也是开放面，但仅此而已。作为一个曲面，双曲面根本不再是欧几里德型的。
大多数曲面并不像球面或双曲面那样具有处处都为正或为负的曲率，而是曲率值逐点变化，正负号在面上不同区域也会改变。
几何与物质
物质所在，几何所在（Ubi materia，ibi geometria）。
——约翰斯·开普勒（JOhaunes Kopler）
我们现在来考虑广义相对论的四维几何。重要的是，时空是弯曲的，而不仅是空间。黎曼曾试图以弯曲空间来使电磁学和引力相和谐，他之所以未成功，是因为没有扭住时间的“脖子”。
设想我们把石块掷向地面上10米外的靶子。在地球引力作用下石块将沿连接出手处和靶子的抛物线飞行，其最大高度取决于初始速度。如果石块以10米／秒的速度掷出，并将用1．5秒钟落到目标，则其最大高度为3米。如果改成用枪射击，且子弹初速为500米／秒，则子弹将沿高为0．5毫米的弧线用0．02秒钟击中目标；如果子弹被射到12公里高的空中再落到靶子上（忽略空气的影响和地球自转），它的总飞行时间就大约是100秒。由此推至极限，也可以用速度为3
0公里／秒的光线来射靶子，这时的轨道弯曲变得难以觉察，几乎成了一条直线。显然，所有这些抛物线的曲率半径各不相同。
现在加进时间维度（图14b）。无论对石块、于弹还是光子，在时空中量度的曲率半径都精确地相等，其值为1光年的星级。因此，更合理的说法是，时空轨道是“直”的，而时空本身被地心引力所弯曲，不受任何其他力的抛射体将沿测地线运动（等价于说沿弯曲几何中的直线运动）。
上面的例子表明时空是怎样在时间上弯曲得比在空间上厉害得多的。一旦所涉及的速度开始增大，时间曲率就变得重要。公路上凸起了一小块，只是空间曲率的一点小小不整齐，一个徒步慢行的人很难觉察到，但对一辆以120公里／小时的速度行驶的汽车来说却很危险，因为它造成时间维度上大得多的变化。
阿瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）计算出，l吨的质量放在一个半径为5米的圆中心所造成的空间曲率改变，仅仅影响圆周与直径比值（即欧几里德几何中的…的小数点后第24位。
因此，要给时空造成可观的变化，就得有巨大的质量。地球表面的时空曲率半径如此之大（约1光年，即其自身半径的10亿倍）的事实说明地球的引力场，尽管给物体以98米／秒’的加速度，却是不够强的。对于地球附近的绝大多数物理实验，我们可以继续采用明可夫斯基时空和狭义相对论；欧几里德空间和牛顿力学在涉及的速度较小时也足够精确。
尽管局域地看来似乎平直，我们的宇宙实际上是被物质弄弯曲了。然而，弯曲效应变得明显仅仅是在高度集中的质量附近（例如黑洞），或者是在很大的尺度上（数百万光年，例如研究对象是由数千个星系组成的团）。最近发现的多重类星体是弯曲时空真实性的一个最好证据。一个遥远光源发出的光线沿不同路径穿过弯曲时空，使天文学家看到同一个天体的几个像
柔软的光
光……更多的光！
——歌德（Goethe）最后的话（1832）
狭义相对论时空的刚性结构也像牛顿空间一样被引力的冲击完全破坏了。时空连续体变得柔软了，被它所包含的物质扭曲了，而物质又按照它的弯曲而运动。
不过，光线的轨迹仍然是沿着最短路径。这个时空“软体”的结构仍然是由光编织的，广义相对论的本质也仍能由光锥来表示出来。
另一种使弯曲时空及其对物质的影响形象化的有用办法是用一块橡皮片。设想将时空的一部分缩减成二维，且由弹性材料构成。在没有任何别的物体时，橡皮保持平直。如果把一个球放在它上面，它就会变形，凹下一个坑，球的质量越大，凹得就越深。这种似乎是空想的表示方式，可以用所谓镶嵌图来使之具有数学上的严格性，本书第12章将对此作详细介绍，以解释黑洞的某些奇特性质。图16用这种方式来表现光线经过太阳附近时的偏折，以及日食时对恒星视位置的观测结果。
爱因斯坦方程
随着爱因斯坦的预言被首次宣布获得证实，关于物理学家将必须研究张量理论的观点才真正激起他们的巨大热情。
——（ A·Whitehead）（ 1920）
所有理论都有自己的方程式。爱因斯坦引力场方程把时空变形的程度与引力源的性质和运动联系了起来，物质告诉时空必须如河弯曲，而时空告诉物质必须如何运动。
爱因斯坦方程是极为复杂的，其中涉及的物理量不再只是力和加速度，而是还有距离和时间间隔。它们是张量，这种量的每一个都像一张有着多项条目的表格，包含着关于几何和物质的所有信息。
引力对物质的作用比电力更为复杂，从而需要有比标量（纯数）和矢量（有三个分量）更复杂的数学术语来进行描述。为认识这一点，我们可回顾在牛顿引力理论中只有物体的引力质量才是引力源，这个质量是由一个固着地联系于物体的纯数来表示的。在爱因斯坦理论中，引力质量只是与物体相联系的总引力量的一个分量。狭义相对论（它对于一个引力可看作均匀的小时空区域总是适用的）已经证明，所有形式的能量都与质量等价，从而都能产生引力。一个物体的能量是与观测者的相对运动有关的。对于一个静止物体，所有的能量都包括在它的“静质量”中（E＝thC‘！）；但物体一且运动，其动能就会产生质量，从而产生引力。要计算一个物体的引力效应，就必须把它的静止能量与描述其运动的“动量矢量”结合起来，这就是对引力源的完整描述需要使用“能量一动量张量”的缘故。
更有甚者，对时空中的每一点都需要20个数来描述其弯曲情况。时间和空间的几何变形因此需要有“曲率张量”（我们记得，曲率随着维数的增多变得越来越复杂）。爱因斯坦方程正是描述曲率张量与能量一动量张量之间的关系，把二者分别放在一个等式的两边：物质制造曲率，而曲率使物质运动。
本书并不试图详细讲述爱因斯坦方程。曲率张量和能量一动量张量的不同分量是如此紧密地相互联系着，以至于一般说来不可能找到方程的精确解，甚至不可能从整体上定义什么是空间，什么是时间。我们不得不把引力源加以理想化，才有可能算出一点什么来。有鉴于此，迄今已找到的解（描述着各种弯曲时空）大多与真实的时空毫不相干。在这个意义上，爱因斯坦方程的内涵是太丰富了，它允许无数个有着稀奇古怪性质的理论上的宇宙。
这种丰富性或许损害了爱因斯坦理论的可信性，但是，我们不要由此以为广义相对论只预言那些不可能观测或是超越人类理解力的东西。恰恰相反，爱因斯坦既是一位物理学家，也是一位哲学家，他试图描述我们的这个宇宙，并且从太阳系开始。运用他的方程的近似解，他首先计算出了太阳系里三个不能由牛顿引力定律得出而又可观测的引力效应：太阳附近光线的偏折，水星轨道的异常，引力场中电磁波频率的变小。下一节将讲述广义相对论这三个预言的成功。
除此之外，还有一些自然界存在的情况，其中对引力源所作的简化被证明是完全合理的，相应得出的爱因斯坦方程精确解就能对宇宙的这一部分或那一部分给出很好的描述。看似奇怪的是，这种简化在两个极端的距离尺度上最富成效。我们能够计算真空中一个孤立物体所产生的引力场（也就是该物体周围的时空变形）。一颗恒星的周围区域（例如太阳系）或一个黑洞的附近，都能由这个解来很好地描述，因为这些情况的物质高度集中于一个小时空区域，周围近乎真空。在另一个极端，我们能够计算宇宙整体的平均引力场（宇宙的整体几何），因为在很大的尺度上物质是大致均匀地铺开的，星系就像是均匀的宇宙气体中的分子。广义相对论因而使我们能建立宇宙学，即研究宇宙整体的形状和演化。在相对论天体物理学于70年代出现之前，宇宙学是广义相对论真正得到应用的唯一领域，当然，是和黑洞一起。
广义相对论的第三个主要应用，即引力波，恐怕不得不等到对世纪。爱因斯坦方程在引力理论中的地位，相当于麦克斯韦方程之于电磁学。现在我们都知道电荷的加速产生电磁波，类似地，广义相对论预言引力源的运动也产生波，即曲率的起伏在弹性时空结构中以光速传播。对引力波的更详细介绍见第18章。
检验广义相对论
在许多意义上，理论物理学家只是穿了工作服的哲学家。
——（ I，· BerylhaPll）（ 1949）
爱因斯坦提议用来检验广义相对论的三项观测是光线在太阳附近的偏折，水星轨道的异常和引力场中原子谱线的红移。
光线经过太阳附近时的偏折（如图16所示）是在1919年日食时观测到的，结果与爱
