无知的博弈:有限信息下的生存智慧-第5部分

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　　当然，你可以采取与候车模型中“随便”策略类似的做法，抓阄来任意选定一位女孩。如果你这样做，那么你有5％的可能性获得最好的女孩。概率比较小，很难发生。
　　另一种看来复杂一点的策略是：把全部女孩分成前后两段，最先出现的10位均不接受，但了解了这10位女孩的质量，然后在后来出现的10位女孩当中，第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受。这就是“等一等、看一看”的策略。在这样的策略中，你得到最好女孩的概率似乎是（10/20）×（10/19）　=　0。263。这个概率已经不算太小。补充说明一下此策略中概率的算法：在这样的规则下，确保得到最好的女孩必然要求最好的女孩在后10名女孩中出现—否则你怎么也得不到最好的了—其概率是10/20，同时，还要求第二好的女孩出现在前10名，其概率为10/19—为什么是10/19？因为除了最好的，剩下人数为19个，第二好的女孩出现在前10名的概率就是10/19—这样就确保了你会得到最好的女孩。
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＇15＇与上帝博弈（4）

　　但是，这个策略得到最好女孩的概率真的是0。263吗？可能不是，因为这只是第二好的女孩刚好出现在前10位的情况；实际上，即使第二好的女孩没有出现在先前的10位，但只要在最好的女孩出现之前的所有女孩中质量最高的出现在前10位，那么该策略也可确保得到最好的女孩（这一点要想通，否则就难以明白接下来的内容）。也就是说，该策略获得最好女孩的概率实际上是超过0。263的（我们很快会发现这个概率应是0。359　4。哇！这的确已经是一个不小的概率了）。
　　但是，还有更好的方法吗？或者我们可以问，放弃先出现的10位女孩是否是最优的？如果不是，那么应该放弃几位先出现的女孩呢？
　　幸运的是，我们的确有更好的策略（你应该先把前面的内容看懂，如果前面没看懂，下面可能就更看不懂了）。既然20位质量不同的女孩其质量在你生命里是随机出现的，没有任何规律，那么，第k个女孩刚好是最好女孩的概率是1/20，而刚好把这个最好的女孩选择到的概率是多少？对此的考虑应该是：既然给定了第k个女孩质量最好，而我们决定放弃前面n－1位女孩，从第n位开始执行前述策略的规则（第一次碰到比以前都可爱的女孩，就立刻接受），那么必须要求在k之前的女孩中质量排名最高的那个必须出现前n－1位女孩中，这样才能确保k被选中，其概率就是（n－1）　/　（k－1）。从而第k个女孩刚好是最好的女孩而且又一定被选中的概率就是（1/20）×（n－1）　/　（k－1）。这里，k的取值范围显然应该是＇n；　20＇中的整数。所以，放弃n－1位女孩而一定会得到最可爱的那位女孩的概率实际上就是
　　这个概率可以用Mathematica软件来计算，或者用Excel来计算也可以，读者会发现，当n*=8时，该概率有最大值0。384　2。也就是说，如果我们放弃前7位女孩，先看一看，心里有个谱，然后只要看到比前7位女孩中最好的还要好的女孩，那么我们就立即选择接受。而这位被接受的女孩刚好属于最好女孩的概率是0。384　2。这比我们放弃10位女孩（n*=11）的策略要好，该策略根据上述公式计算得出获得最好女孩的概率为0。359　4。
　　我们用Mathematica软件绘出获得最好女孩的概率图形（纵轴是概率，横轴表示从第几位开始认真考虑接受。最大概率出现在n*=8，即放弃前7位，从第8位开始认真考虑接受，见图2…2）。
　　根据上述结果，我们可以得出这样的结论：若一个人在20～30岁之间选择结婚对象，而这20位女孩以每年两位的平均分布出现，那么你应当在24岁才开始认真考虑终身大事。
　　这个例子也可任意改动数据后用同样的方法求解。比如，如果是30位女孩，那么你应该从第11位女孩开始认真考虑终身大事。
　　图2…2　　　转向认真考虑婚姻选择的决策点
　　这个例子也可以改成其他的版本，比如：在20层楼中，每层楼都放着一颗宝石，每颗宝石的大小不一。现在你从第一层开始上楼，每到一层楼你都可以决定要不要该层楼中的宝石。如果不要，不能回头。如果要，以后就不能再取。或者，有20位求职者，你希望尽可能雇用到最好的那位，但你对他们的面试机会只有一次。你应该如何才可以有最大的机会获得最大的那颗宝石（最好的那位求职者）？这个问题，据说是微软公司的面试题。但它的道理，与最大可能获得女孩的道理是一样的。
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＇16＇与上帝博弈（5）

　　由此还可引发出另外一重考虑：为什么在求职或演讲比赛之类的竞争场合，人们通常不愿作为第一个或前几个登台呢？而且越是好的越不愿意第一个登台呢？因为人们可能存在等一等、看一看的决策习惯，前几名往往只作为参照标准被评审人有意无意地放弃了。
　　不要被概率愚弄
　　概率计算，是一项颇具挑战性的工作。事实上，大多数人都是概率方面的白痴。即使是一些数学专家犯错误也是常事。专家尚且如此，普通大众被概率愚弄也就很正常了。下面是常见概率决策失误的例子。
　　一种常见错误是，人们往往有夸大小样本代表性的倾向。阿克洛夫（G。　Akerlof，2001年诺贝尔经济学奖得主）1991年的一篇文章中提到了这种现象：
　　让我们假定，你想买一辆新车，并从价格经济和使用寿命角度考虑决定买沃尔沃或萨帕。作为精明的买家，你阅读了《消费者调查》获取相关信息，发现大多数专家认为沃尔沃的机械性能更好，大多数读者认为沃尔沃有良好的维修记录。在这些信息的武装下，你准备下周就去和沃尔沃销售商谈判。然而，在这个周末你参加了一次聚会，和一个熟人谈起你的打算，他的反应是质疑和警告：“买沃尔沃！不会是开玩笑吧？我姐夫有一辆沃尔沃，先是计油器出问题，然后是后备箱出问题，再后来是变速器和离合器。最后，不到三年就把那辆车当废品卖掉了。”
　　在这种情况下，你还会买沃尔沃吗？估计你会立即转向购买萨帕了。但是，仔细想想，你的朋友提供的信息，不过是在有关沃尔沃的大量样本信息中再加入一个样本信息而已，并不足以改变样本的平均值—也就是说，仅凭你朋友的一席话，并不足以改变原先支持你选择沃尔沃的理由。但是，现实中有多少人还能这样理性地思考呢？
　　类似地，人们也常常犯下以总体特征来推断小样本特征的错误。譬如许多人认为，一家医院中一年出生的小孩大致应该是男孩和女孩各占50％左右。事实上，很多小医院的出生性别比完全不是这样。一个城市的出生性别比可能是1：1，但这不等于在更小的单位也是如此。如果你不能理解小医院为什么通常不是1：1的性别比，那么你想想更小的单位，比如家庭，有多少家庭出生的小孩会是男孩女孩各占一半呢？读者有必要记住，小样本的特征不一定服从总体的特征，所以不能把总体的特征作为小样本特征的描述。当然，反过来也一样，小样本难以反映总体的情况，所以也不能把小样本特征当做总体特征。比如，不能看到几个没文化的人比几个有文化的人赚了更多的钱，就得出结论说文化程度高对提高经济收入并没有帮助。又比如，你不能因为看到一个无臂人用脚画画很好，就得出结论说要学好画画就要砍掉双手一样。可是现实中却有持这种逻辑的人。
　　另一种常见的错误是人们常常忽略了随机事件的独立性，错误地把它们关联起来。比如掷硬币，每一次投掷出现正面或反面的概率都是0。5。也就是说，以前曾经出现过什么样的历史，对于下一次投掷的结果是没有影响的。考虑你现在参加投掷硬币的赌博游戏，每投掷一次赌注1元。已经投了9次结果都很“偶然”地出现了正面，现在面临第10次投掷，你应该选择押注正面还是反面？有不少人是这样想的，既然已经出现了9次正面，均匀的硬币要连续出现10次正面的概率太小了（这个概率为0。510　=　0。097　7％），因此下一次出现反面的概率应该很大。这样的决策，忽略了下一次投掷概率与历史无关的事实。只要硬币是均匀的，不管前9次结果如何，下一次正面和反面出现的概率均为0。5，所以你押注哪一面，胜负概率都一样。当然，这里还有另一种可能，那就是硬币不是均匀
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＇17＇与上帝博弈（6）

　　的，所以前面9次出现正面并不那么“偶然”，如此第10次还很有可能出现正面—你现在应该选择的就是正面，而不是像先前所思考的那样选择反面。
　　这个赌硬币的例子和股票市场很类似。股票市场也充满了随机性。基本上有两种投资理念，一种认为股票价格完全随机，与业绩无关，这种情况下股票与均匀硬币本质上是一样的，股票价格的历史表现不足以作为决策的依据，因为未来价格与历史价格无关；另一种观点认为，股票的长期业绩较好，很可能表明股票存在内在价值支撑，这就与非均匀材质的硬币一样，按照这样的理念，那么过去业绩表现较好的，在未来也更有可能表现出较好的业绩。这两类观点究竟哪一类更符合股票市场的现实？现在似乎还没有研究可以将它们检验出来。但是通过一些仿真实验可以明白的是，存在大量均匀和非均匀的硬币不断投掷，比如经过30轮投掷，能够保持30次都在正面的硬币仍然存在，而这些硬币也并不完全是非均匀的硬币，这表明可能部分股票的业绩确实有内在支撑，但也有些股票业绩良好可能仅仅是偶然因素。
　　还有一种经常犯错误的情况是很多人不善于从结果去推断信息，以至于过度夸大了某些后果的严重性。我太太的一个朋友怀了小孩，因高龄怀孕担心胎儿的健康做了唐氏筛查。唐氏综合征俗称先天性痴呆，是最常见的一种染色体疾病。怀孕年龄越大，胎儿患此病的概率越高，按照年龄段来看这位朋友胎儿患此病的概率为0。13％。如果胎儿确实患有此病，则唐氏筛查有80％的可能性会查出来（也就是有20％的可能性查不出，但胎儿实际上是患病的）；如果胎儿未患此病，则不会查出异常。这位朋友不放心去做了筛查，结果没什么问题，但她反而更担心了。我太太说，没检查出问题不是很好吗，可以放心了；她却说，还是有20％的可能性患病啊，只是没有查出来啊。我太太的数学很差，听她这样说也懵了，但又觉得不对劲，回来问我，为什么检查无恙之后，患病的概率反而提高了？我一听就觉得好笑：她们是先验地假定胎儿已经患上唐氏综合征，所以才会认为未检查出病状有20％的患病概率；事实上，胎儿患病的概率仅为0。13％，检查后未发现异常而胎儿患病的概率应是　（0。13％×20％）　/　（0。13％×20％＋99。87％×100％）　=　0。0