异类-第9部分

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还是无穷大。
　　但是Renee没有意识到她在尝试做一件没有答案的数学题，她正陷入被Schoenfeld称为“美丽的理解误区”中。而Schoenfeld之所以喜欢以这盘录像带为例，是因为它十分贴切的演绎了怎样可以走出思考误区。
　　Renee是个护士。过去，她从不像其他人那样对数学感兴趣，但不知道为什么她被这个软件程序所吸引，并且被“套住了”。
　　“现在，我所要做的就是用这个程序去划一条同Y轴平行的直线。”　她开始说话，Schoenfeld坐在她身边，她焦虑的看这着他。“从我开始做这个软件，到现在已经五年了。”
　　她开始胡乱输入数据，敲着不同的数字。
　　“现在如果我减去一，那么线就会变直。”
　　随着她输入不同的数字，屏幕上的线也随之改变。
　　“噢，这样好像行不通”。
　　她看起来好像很费解。
　　Schoenfeld问道：“你想做什么？”
　　“我就是想划一条与Y轴平行的直线。我需要做些什么？我认为我应该再稍微移动一下。”她指着Y轴上的数字说道。“我发现了，当你把1换成2，就会看到斜线的角度发生很大的变化。”
　　这就是Renee的理解误区。她发现在Y轴上所取得数值越大，线距离Y轴的角度就会越小。因此，她认为只要在Y轴上取得的数值足够大，那么就可以得到一条垂线。
　　“我想，取12或者13就可以得到一条垂线了。或者15。”
　　她皱起眉说道。她同Schoenfeld共同反复地探讨解决方案，他一点一滴的朝着正确的方向引导她。她一直试了又试，一次次接近目标。
　　这一次，她输入20，线只比原来的角度斜了一点点；她输入40，线依旧只倾斜了一点点。
　　“我觉得这有些关联，但是至于为什么会这样，我始终想不明白。如果我输入80呢？如果输入40，斜线已经与Y轴成45度，那么输入80就应该得到一条直线了。所以，我要输入80，看看结果如何。”
　　她输入80，线更斜了，但是还是没有变成垂线。
　　“数值是无穷大是吗？我永远都划不出一条垂线是吧？”Renee的发现已接近事实的真相，但是她又绕回了她最初的“思维误区”。
　　“那我该怎么办呢？100吗？每一次我输入加倍的数字，它就会更接近，但是却总是达不到我想要的结果。”
　　她输入100。
　　“接近了，但依旧不大理想。”
　　她开始更大胆的想象，很明显她就要得出事实的真相了。“好吧，我知道了，尽管。。。。。。但是。。。。。。我知道了，每加大一个数字，线就更接近Y轴一点。至于为什么会这样，我仍然感到困惑不解？？？？？？”
　　之后她停顿了一下，紧紧盯着屏幕，“我有点糊涂了，这里只是十分之一，但我没有意识到？？？？？？”
　　然后她突然明白了，她的脸闪耀着光芒：“噢，任何一条垂线都被零整除，因此就会无穷大。嗯，好，现在我明白了，垂直的斜线是无穷大的，嗯，现在总算是明白了，我永远也不会忘记这堂课”。
　　5、
　　在Schoenfeld任教时，曾用录影机记录了许多学生的数学课。但是Renee的录影带是他最喜欢的一个，因为这个录影带贴切的诠释了学习数学的秘密。从Renee开始操作计算程序，直到第22分钟，她才说了声：“嗯，现在有些眉目了”，那是一段很长的时间，Schoenfeld说道：“这是道八级的数学题，如果我把给Renee布置的数学题目，同样布置给与Renee程度相同的八级学员，我想，在他们试试之后就会说，我做不出来，我需要你来讲解一下。”Schoenfeld曾经问一组高中生，在他们做家庭作业时，在下定结论该数学题太难而做不出之前，他们会花多长时间来尝试解答该题。他们的回答从30秒到5分钟不等，平均时间为2分钟。书　包　网　txt小说上传分享

异类　第八章　稻谷种植与数学测试（8）
但是Renee是个很执着的人，她坚持不懈，她反复在同一个问题上推敲，并且她想出了解决办法。她不断地尝试，不是一个轻易就屈服的人，她知道在某种程度上，她画垂线的理论出现了失误。除非她认为自己做对了，否则她不会放弃。
　　Renee在数学方面并不具备天赋，类似斜线和无穷大这样的抽象概念对她绝对不是一件容易理解的事，但她却给Schoenfeld留下了十分深刻的印象。
　　“无论做任何事，她都有种强烈的意愿去弄清楚，她不接受敷衍了事，她不会“啊，你是对的”，然后就走开，并且这很不寻常。他将录像带回放到Renee面对难题的那个时刻，并指着屏幕。
　　“看，”他说，“她做了两次，很多学生只是绕过做下一道题，相反，她却去思考，无论我怎么试，这题就是不对。我不明白。这个很重要，我需要一个说法。”然后当她最终得到解释后，她会说：“嗯，这才合适”。
　　在伯克利，　Schoenfeld　教一门怎样解决问题的课程，整个课程的意义在于，让学生们在上大学之后，抛弃学习数学的旧习惯，他说：“我挑了一个我不知道该怎样解决的问题，我告诉我的学生，你们在两个星期后会有个考试。我了解你们的习惯。在第一周内你们不会做任何复习，你们会在第二个礼拜开始准备，我现在要提醒你们，如果你只用一周的时间复习，那么你们不会取得好成绩。或者，另一方面，如果你只是在我们期中考试那天才开始复习，那么你一定会感到很失落。你将跑过来跟我说‘这不可能。’我想告诉你们，持续努力，到了第二周你就会发现你将取得重大进步。”
　　有些时候我们将优秀的数学能力看作一种内在的能力。或者你具备，或者你不具备，但是对于Schoenfeld　来说，什么能力都不如态度重要。如果你有意愿去尝试，你就会掌握数学，这就是他想传授给学生的。成功就是坚持不懈的钻研，比如，带有强烈的意愿花22分钟去解决一个大多数人只花30秒就放弃的问题，如果一个班里都是Renee这样的人，只要给她们足够的空间和时间让她们自己解决问题，那么一定会取得很好的成绩。或者想象一下，如果在某个国家，Renee的这种坚持不是特例，而是一种文化特征，那么深植在这种文化中的荣誉感将会毫无疑问的致使这个国家具备卓越的数学能力。
　　6、
　　每四年，一个由许多学者组成的国际组织都会组织一次高难度的数学竞赛，竞赛的选手大多都来自世界各国的初中生或高中生。这个数学竞赛就是TIMSS（这与我们之前讨论的竞赛是同一个竞赛），设立TIMSS竞赛的目的就在于比较不同国家之间的教育成果。
　　当学生们坐下来参加TIMSS竞赛时，他们同时还必须填写一份问卷。这份问卷包括很多内容，如父母的教育程度，对数学的看法，以及对朋友的描述。这并非是毫无意义的测试。这是个长达120道题的问卷，因此很多学生都留下十道到二十道题未能填写。
　　从问卷结果来看，国家间的差异很大，这是个有趣的现象。事实上，参加竞赛的各个国家的选手，其排名很可能是根据回答问卷题目的数量来决定的。现在，当你将问卷排名与数学竞赛的排名比较之后，你会得出怎样的结论？他们的结果几乎完全一致。换句话说，如果来自某个国家的学生能够长久并专注的回答一份冗长的问卷上的每一个问题，那么通常这个国家的学生也具有解决数学问题的卓越能力。
　　发现该情况的是一名来自宾夕法尼亚大学的教育学者，俄林？波，他偶然发现了这个事实。他说，这纯属意外发现。波甚至未曾在科学杂志上发表他的看法，这有一点奇怪，因为他并没有说完成问卷的能力和赢得竞赛的能力有任何相关。他只说，它们是一样的；如果你将两个排名进行对比，结果会非常鲜明。
　　换种方式思考一下，想象着如果每年世界上的知名城市全都举行一场奥林匹克数学竞赛，并且每个参赛的国家都派出一组由高中生和初中生组成的小队加入1000名参赛选手的阵营。波指出，不需要问任何一道数学难题，我们就可以精确地得知每个国家在奥林匹克数学竞赛中的排名，我们只需要给他们布置同一项任务，并衡量他们在任务中的付出程度。实际上，我们甚至都不用布置任务，仅仅观察一下哪个国家的文化最注重工作态度，就可以预测哪个国家的数学能力最强。
　　那么哪几个国家或地区将会出现在这两个数据的前几位呢？没有任何悬念，他们分别是新加坡、韩国、中国台湾、中国香港和日本。1当然，这五个地方都有共同的一点：几百年来，贫穷的农民每天都在稻田里辛勤的劳作十几个小时，或许只有这样才可以对其他人说“早起的鸟有食吃”。
　　

异类　尾声　一个牙买加人的故事（1）
1、
　　1931年9月9日；　一个名叫戴西。？纳森的年轻女人，生了一对双胞胎女儿。。她和她的丈夫唐纳德在一个叫做harewood的小村庄当老师；　小村坐落在圣凯瑟琳的牙买加人教区的中心。。他们给他们的女儿取名为费思和乔伊思。当唐纳德得知有了两个双胞胎女儿时；他双膝跪在地上，向上帝承诺会对她们的生活负起责任。
　　他们居住在Harewood那种英国教堂式的小别墅里面，学校就在隔壁，一个由混凝土支柱撑起的长形单门小房子。最多的时候，那里曾经有300多个学生，最少的时候有不到二十多个。孩子们会一遍又一遍地大声阅读或背诵他们的时间表格，并在石板上写字。无论何时，只要可能，所有学生都会到外面的芒果树下面。如果孩子们不听话，唐纳德就会从屋的一端走到另一端，挥舞着带子示意孩子们回到他们自己的位置。
　　他是一个使人难忘的男人，温柔而有威严，非常热爱读书。在他的小书屋里面，珍藏着着诗歌类、哲学类、和小说类图书，比如象萨默塞特。毛姆的左作品。每天他都会看报纸，关注世界各地发生的事情。英国国教徒牧师阿齐迪肯。海是他最好的朋友，住在山的那边。晚上他会来到唐纳德家，和他一起坐在阳台上讨论牙买加的一些问题。唐纳德的妻子戴西，是一个来自圣女伊利莎白教区的女人。她在结婚前姓福特，父亲有一个小杂货铺。她是两个女儿中漂亮的那个，远近闻名。
　　这对双胞胎女儿在11岁时获得了圣。希尔达寄宿学校的奖学金，这个学校靠近北部海岸。这是一个非常老的私立的盎格鲁人学校，是专门为一些英国牧师，地主和工头的女儿成立的。通过圣。希尔达学校，她们申请并被批准到伦敦的大学学习。在这期间，乔伊斯参加了年轻英国数学家格雷厄姆21岁的生日晚会。当格雷厄姆朗诵一首诗歌却当众忘词时，乔伊斯替他感到很窘迫——尽管这跟她毫无关系，因为她根本不认识格雷厄姆。后来乔伊斯与格雷厄姆相爱并结了婚，搬到了加拿大定居。格雷厄姆成为一位数学家，乔伊斯成了一名非常成功的作家和临床医学家。他们有三个儿子，在乡下的小山上造了一所漂亮的小房子。格雷厄姆的父姓是格莱德尔，他就是我的父亲，乔伊斯。格莱德尔是我的母亲。
　　2、
　　那就是我的母亲走向成功的故事——全部的事实并不全是这样，不过从事实本身来讲，它不是